Định lí Vi-ét cho phương trình bậc 2 và cách ứng dụng cực hay

Ví dụ: Tìm nghiệm của phương trình sau

a) (3–√ – 1)x² – 4x – (3–√ – 5 ) = 0

b) (m + 4)x² – (2m + 3)x + m – 1 = 0 với m ≠ 1

Lời giải

a) (3–√ – 1)x² – 4x – (3–√ – 5 ) = 0

Ta thấy: a + b + c = (3–√ – 1) – 4 – ((3–√ – 5) = 0 => PT có 2 nghiệm là x₁ = 1 và x₂ = –(3√–5)3√–1

b) (m + 4)x² – (2m + 3)x + m – 1 = 0 với m ≠ 1

Ta thấy a – b + c = (m + 3) – (2m + 3)  + (m – 1) = 0 => PT có 2 nghiệm là x₁ = – 1 và x₂ = –(m–1)m+4=1–mm+4

Nhận xét: Qua ví dụ thứ 2, bạn đồng ý với mình rằng phương pháp này giúp giải pt đặc biệt trở nên siêu nhanh!

Dạng 2. Tính giá trị của biểu thức giữa các nghiệm

Nếu ax² + bx + c = 0 ( với a ≠ 0) có hai nghiệm x₁, x₂ thì ta có thể biểu thị các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm theo S = x₁ + x₂ và P = x₁.x₂.

Ví dụ:

Chú ý: Khi tính giá trị của một biểu thức giữa các nghiệm thông thường ta biến đổi sao cho trong biểu thức đó xuất hiện tổng và tích các nghiệm rồi áp dụng định lý Vi-ét để giải.

Dạng 3. Tìm hai số khi biết tổng và tích

Dựa vào định lý Viet đảo, ta có:

Ví dụ: Tính các kích thước của hình chữ nhật ABCD. Biết diện tích và chu vi của nó theo thứ tự là 2a² và 6a .

Lời giải

Gọi các kích thước của hình chữ nhật là x, y với x, y > 0

Dạng 4. Phân tích tam thức bâc hai thành nhân tử

Giả sử ax² + bx + c = 0 ( với a ≠ 0) có Δ ≥ 0

Ví dụ: Phân tích 3x² + 5x – 8 thành nhân tử

Giải

Nhận xét: 3x² + 5x – 8 = 0 có a + b + c = 3 + 5 – 8 = 0 => có 2 nghiệm là x₁ = 1 và x₂ = ca=–83=–83

Khi này tam thức 3x² + 5x – 8 = (x – 1)(x + 83)

Dạng 5. Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc 2 có một nghiệm x = x₁ cho trước. Tìm nghiệm thứ hai

Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x = x₁ cho trước ta có thể làm theo 1 trong 2 cách sau

Cách 1:

• Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm Δ ≥ 0 (Δ ≥ 0 ) (*)
• Bước 2: Thay x = x₁ vào phương trình đã cho tìm giá trị của tham số
• Bước 3: Đối chiếu giá trị vừa tìm được với điều kiện (*) để kết luận

Cách 2:

• Bước 1. Thay x = x₁ vào phương trình đã cho tìm được giá trị của tham số.
• Bước 2. Thay giá trị tìm được của tham số vào phương trình và giải phương trình

Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phương trình đã cho mà có Δ < 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phương trình có nghiệm x₁ cho trước.

Để tìm nghiệm thứ hai ta có thể làm như sau

• Cách 1: Thay giá trị của tham số tìm được vào phương trình rồi giải phương trình.
• Cách 2: Thay giá trị của tham số tìm được vào công thức tổng 2 nghiệm để tìm nghiệm thứ hai.
• Cách 3: Thay giá trị của tham số tìm được vào công thức tích hai nghiệm để tìm nghiệm thứ hai.

Bài viết trên đây, chúng tôi đã giới thiệu đến quý thầy cô và các bạn định lí Vi-ét cho phương trình bậc 2 và cách ứng dụng cực hay. Hi vọng, bài viết đã cung cấp thêm cho bạn thêm nhiều nguồn tư liệu hữu ích. Xem thêm định lí Sin trong tam giác nữa bạn nhé !