Tổng hợp

Công thức tính lim

Giới hạn của hàm số, cách tính và bài tập áp dụng

Giới hạn hữu hạn

gioi han huu han gioi han huu han
dinh ly dinh ly

Giới hạn vô cực, Giới hạn ở vô cực

gioi han vo cuc gioi han o vo cuc gioi han vo cuc gioi han o vo cuc
dinh ly 1 dinh ly 1
bang sau bang sau

Giới hạn 1 bên

gioi han 1 ben gioi han 1 ben
vi du 1 4 vi du 1 4

Bài tập áp dụng tìm giới hạn

bai tap ap dung tim gioi han bai tap ap dung tim gioi han
1635227674 52 bai tap 2 1635227674 52 bai tap 2
1635227674 549 vi du 2 1635227674 549 vi du 2
1635227674 941 bai tap 1 1635227674 941 bai tap 1
bai tap2 bai tap2
vi du 3 vi du 3
bt1 bt1
bt2 bt2
phuong phap 1 phuong phap 1
vi du 4 vi du 4
vi du 5 vi du 5
vi du 6 vi du 6
1635227674 691 bai tap 3 1635227674 691 bai tap 3
1635227674 487 bai tap 4 1635227674 487 bai tap 4
bai tap 5 1 bai tap 5 1
bai tap 6 1 bai tap 6 1
dang 5 dang 5
bai tap 7 1 bai tap 7 1

Ví dụ 8: Tìm giới hạn sau

vi du 8 vi du 8
van de 2 van de 2
vi du 9 vi du 9
bai tap 8 1 bai tap 8 1
bai tap 9 1 bai tap 9 1
dang 2 1 dang 2 1
1635227675 504 bai tap 10 1635227675 504 bai tap 10
1635227675 430 bai tap 12 1635227675 430 bai tap 12
dang 3 1 dang 3 1
bai tap 13 1 bai tap 13 1
1635227675 259 bai tap 14 1635227675 259 bai tap 14

Mối quan hệ giữa giới hạn một bên và giới hạn tại một điểm

moi quan he giua gioi han mot ben va gioi han tai mot diem moi quan he giua gioi han mot ben va gioi han tai mot diem
vi du 10 vi du 10
bai tap van dung bai tap van dung
bai tap 15 1 bai tap 15 1

Bảng các công thức tính giới hạn hàm số

Một số phương pháp tính lim thủ công

Tính giới hạn của dãy số

Cách 1: Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn 0 của dãy số

Bạn đang xem bài: Công thức tính lim

su dung dinh nghia tim gioi han 0 cua day so su dung dinh nghia tim gioi han 0 cua day so

Cách 2: Tìm giới hạn của dãy số bằng công thức

Một số công thức ta thường gặp khi tính giới hạn hàm số như sau:

mot so cong thuc ta thuong gap khi tinh gioi han ham so nhu sa mot so cong thuc ta thuong gap khi tinh gioi han ham so nhu sa

Công thức trên có thể biến tấu thành các dạng khác tuy nhiên về bản chất thì không thay đổi.

Cách 3: Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn hữu hạn

su dung dinh nghia tim gioi han huu han su dung dinh nghia tim gioi han huu han

Cách 4: Sử dụng các giới hạn đặc biệt cùng với định lý để giải quyết các bài toán tìm giới hạn dãy số

  • Ta thường sử dụng các dạng giới hạn:
su dung cac gioi han dac biet cung voi dinh ly de giai quyet cac bai toan tim gioi han day so su dung cac gioi han dac biet cung voi dinh ly de giai quyet cac bai toan tim gioi han day so
  • Nếu biểu thức có dạng phân thức tử số và mẫu số chứa lũy thừa của n thì ta tiến hành  chia cả tử và mẫu cho n^k với k là mũ cao nhất ở bậc mẫu.
  • Nếu biểu thức chứa căn thức cần nhân một lượng liên hợp để đưa về dạng cơ bản thì ta có một số lượng liên  hợp cần thiết như sau:
luong lien hop luong lien hop

Cách 5: Áp dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn, tính giới hạn, biểu thị một số thập phân vô hạn tuần hoàn thành phân số.

  • Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn và có công bội là |q|
  • Tổng các số hạng của một cấp số nhân lùi vô hạn (Un)

S = u1 + u2 + u3 + u4 + …. + un = u1 / ( 1 – q )

  • Mọi số thập phân đều được biểu thị dưới dạng lũy thừa của 10.

Câu 6: Tìm giới hạn vô cùng của một dãy số bằng định nghĩa

tim gioi han vo cung cua mot day so bang dinh nghia tim gioi han vo cung cua mot day so bang dinh nghia

Cách 7: Tìm giới hạn của một dày số bằng cách sử dụng định lý, quy tắc tìm giới hạn vô cực

Chứng minh một dãy số có giới hạn

Áp dụng định lý Vâyơstraxơ:

  • Nếu dãy số (un) tăng và bị chặn trên thì nó có giới hạn.
  • Nếu dãy số (un) giảm và bị chặn dưới thì nó có giới hạn.

Chứng minh tính tăng và tính bị chặn:

Chứng minh một dãy số tăng và bị chặn trên (dãy số tăng và bị chặn dưới) bởi số M ta thực hiện: Tính một vài số hạng đầu tiên của dãy và quan sát mối liên hệ để dự đoán chiều tăng (chiều giảm) và số M.

Tính giới hạn của dãy số ta thực hiện theo một trong hai phương pháp sau:

Phương pháp 1

Đặt lim un = a. Từ lim u(n+1) = lim f(un) ta được một phương trình theo ẩn a.

Giải phương trình tìm nghiệm a và giới hạn của dãy (un) là một trong các nghiệm của phương rình. Nếu phương trình có nghiệm duy nhất thì đó chính là giới hạn cảu dãy cần tìm. còn nếu phương trình có nhiều hơn một nghiệm thì dựa vào tính chất của dãy số để loại nghiệm.

Chú ý: Giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất.

Phương pháp 2: Tìm công thức tổng quát un của dãy số bằng cách dự đoán. Chứng minh công thức tổng quát un bằng phương pháp quy nạp toán học. Tính giới hạn của dãy thông qua công thức tổng quát đó.

Tính giới hạn của hàm số

Để tính giới hạn của hàm số ta có thể thực hiện một số phương pháp như sau:

  • Dùng định nghĩa để tìm giới hạn
  • Tìm giới hạn của hàm số bằng công thức
  • Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn một bên
  • Sử dụng định lí và công thức tìm giới  hạn một bên
  • Tính giới hạn vô cực
  • Tìm giới hạn của hàm số dạng 0/0
  • Dạng vô định

Dưới đây là một số công thức tính hàm số vô cùng cơ bản:

duoi day la mot so cong thuc tinh ham so vo cung co ban duoi day la mot so cong thuc tinh ham so vo cung co ban

Cách tính lim bằng máy tính

Bước 1: Trước tiên hãy nhập biểu thức vào máy tính

Bước 2: Sử dụng chức năng đó là gán số tính giá trị biểu thức

Bước 3: Lưu ý gán các giá trị theo bên dưới:

+) Lim về vô cùng dương thì hãy gán số 100000

+) Lim về vô cùng âm thì hãy gán số -100000

+) Lim về 0 thì hãy gán số 0.00000001

+) Lim về số bất kì chẳng hạn như về +3 thì gán 3.000000001 còn về 3- thì gán 2.9999999999

Tính lim là một dạng bài tập  khá cơ bản, tuy nhiên dạng toán này vẫn chiếm một vài câu trong đề thi trung học phổ thông quốc gia. Các bạn cần đảm bảo tính chính xác khi làm. Đặc biệt có thể sử dụng máy tính Casio để có thể tính toán nhanh và chính xác nhất.

Chuyên đề giới hạn và liên tục

CÁCH TÍNH GIỚI HẠN HÀM SỐ NHƯ THẾ NÀO?

TÍNH GIỚI HẠN HÀM SỐ DẠNG XÁC ĐỊNH

Nếu hàm f(x) xác định tại điểm lấy giới hạn. Thì ta chỉ việc thay điểm đó vào biểu thức dưới dấu lim sẽ được kết quả cần tìm.

tinh gioi han ham so dang xac dinh tinh gioi han ham so dang xac dinh

Ta chỉ việc thay x=2 vào biểu thức trong dấu lim ta được -1/4. Và đó chính là kết quả của giới hạn trên.

TÌM GIỚI HẠN HÀM SỐ DẠNG BẤT ĐỊNH

Đối với dạng bất định ta quan tâm tới một số dạng thường gặp như sau:

1. TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ DẠNG 0 TRÊN 0

Đối với dạng 0 trên 0 ta lại chia làm 2 loại: Loại giới hạn không chứa căn và loại chứa căn.

Loại không chứa căn bao gồm các loại giới hạn đặc biệt và loại phân thức mà tử và mẫu là các đa thức.

Giới hạn đặc biệt dạng 0 trên 0 được đề cập đến trong chương trình phổ thông hiện nay là:

gioi han dac biet dang 0 tren 0 gioi han dac biet dang 0 tren 0

Cách tính giới hạn dạng 0 trên 0 loại đa thức trên đa thức thì ta phân tích thành nhân tử bằng lược đồ Hoocner.

luoc do hoocner luoc do hoocner

Ta thấy x=1 là nghiệm của cả tử số và mẫu số. Ta dùng lược đồ Hoocner để phân tích tử số và mẫu số.

dung luoc do hoocner de phan tich tu so va mau so copy dung luoc do hoocner de phan tich tu so va mau so copy

Còn để tính loại chứa căn ta thực hiện nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp.

con de tinh loai chua can ta thuc hien nhan ca tu va mau voi bieu thuc lien hop con de tinh loai chua can ta thuc hien nhan ca tu va mau voi bieu thuc lien hop
bai tap gioi han ham so bai tap gioi han ham so

Với căn bậc 3 ta cũng làm tương tự.

voi can bac 3 ta cung lam tuong tu voi can bac 3 ta cung lam tuong tu

Ta có:

gioi han can bac gioi han can bac

Trong trường hợp giới hạn có cả căn bậc 2 và căn bậc 3 thì ta thêm bớt 1 lượng để đưa về tổng hiệu của 2 giới hạn dạng 0 trên 0.

ten goi my mieu loai nay la bai ham vang ten goi my mieu loai nay la bai ham vang
gioi han co ca can bac 2 va can bac 3 gioi han co ca can bac 2 va can bac 3

GIỚI HẠN DẠNG VÔ CÙNG TRÊN VÔ CÙNG

Với dạng giới hạn vô cùng trên vô cùng ta giải bằng cách chia cả tử và mẫu cho x với số mũ cao nhất của tử hoặc của mẫu. Lưu ý dạng này khi x tiến tới âm vô cùng chúng ta hay nhầm lẫn về dấu. Cụ thể khi đưa x vào trong căn bậc 2 ta cần để dấu – bên ngoài.

gioi han dang vo cung tren vo cung gioi han dang vo cung tren vo cung
loi giai vo cung tren vo cung loi giai vo cung tren vo cung

GIỚI HẠN DẠNG VÔ CÙNG TRỪ VÔ CÙNG

Với dạng vô cùng trừ vô cùng (vô cực trừ vô cực) ta thực hiện theo 2 phương pháp: Nhóm ẩn bậc cao nhất hoặc nhân liên hợp. Cách nào thuận lợi hơn ta tiến hành theo cách đó.

gioi han dang vo cung tru vo cung gioi han dang vo cung tru vo cung

Trường hợp này chúng ta cần nhân liên hợp bởi vì nếu nhóm x thì sẽ lại đưa về dạng bất định 0 nhân vô cùng.

dua ve dang bat dinh 0 nhan vo cung dua ve dang bat dinh 0 nhan vo cung
chung ta can nhan lien hop chung ta can nhan lien hop

Bài này giống bài trên đều là dạng vô cùng trừ vô cùng. Nhưng ta lại để ý là hệ số bậc cao nhất trong 2 căn là khác nhau. Vì vậy bài này chúng ta nên nhóm nhân tử chung.

loi giai dang vo cuc tru vo cuc loi giai dang vo cuc tru vo cuc

GIỚI HẠN DẠNG 1 MŨ VÔ CÙNG

Với giới hạn dạng 1 mũ vô cùng ta tính thông qua giới hạn đặc biệt sau:

gioi han dang 1 mu vo cung gioi han dang 1 mu vo cung
voi gioi han dang 1 mu vo cung ta tinh thong qua gioi han dac biet sau voi gioi han dang 1 mu vo cung ta tinh thong qua gioi han dac biet sau

GIỚI HẠN DẠNG 0 NHÂN VÔ CÙNG

Về bản chất giới hạn dạng 0 nhân vô cùng có thể đưa về dạng 0 trên 0 hoặc dạng vô cùng trên vô cùng qua 1 vài phép biến đổi theo lưu ý ở đầu bài viết này phần định nghĩa. Với dạng giới hạn này chúng ta nên biến đổi về dạng xác định hoặc các dạng giới hạn vô định đã nêu ra ở trên. Tùy từng bài cụ thể chúng ta cần biến đổi cho phù hợp.

gioi han dang 0 nhan vo cung gioi han dang 0 nhan vo cung
loi giai 0 nhan vo cung loi giai 0 nhan vo cung

Phân dạng và các phương pháp giải toán chuyên đề giới hạn

BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ.

Dạng 1. Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn 0 của dãy số
Dạng 2. Sử dụng định lí để tìm giới hạn 0 của dãy số 
Dạng 3. Sử dụng các giới hạn đặc biệt và các định lý để giải các bài toán tìm giới hạn dãy
Dạng 4. Sử dụng công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, tìm giới hạn, biểu thị một số thập phân vô hạn tuần hoàn thành phân số 
Dạng 5. Tìm giới hạn vô cùng của một dãy bằng định nghĩa
Dạng 6. Tìm giới hạn của một dãy bằng cách sử dụng định lý, quy tắc tìm giới hạn vô cực
MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO {Tham khảo}

BÀI 2. GIỚI HẠN HÀM SỐ

Dạng 1. Dùng định nghĩa để tìm giới hạn 
Dạng 2. Tìm giới hạn của hàm số bằng công thức
Dạng 3. Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn một bên 
Dạng 4. Sử dụng định lý và công thức tìm giới hạn một bên 
Dạng 5. Tính giới hạn vô cực 
Dạng 6. Tìm giới hạn của hàm số thuộc dạng vô định 0/0
Dạng 7. Dạng vô định 
Dạng 8. Dạng vô định
MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO {Tham khảo}

BÀI 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC
Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại điểm x0 
Dạng 2. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
Dạng 3. Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng K
Dạng 4. Tìm điểm gián đoạn của hàm số f(x) 
Dạng 5. Chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm 
MỘT SỐ BÀI TẬP LÝ THUYẾT {Tham khảo} 

1 phan loai va bai tap chuyen de gioi han 1 phan loai va bai tap chuyen de gioi han
2 phan loai va bai tap chuyen de gioi han 2 phan loai va bai tap chuyen de gioi han
3 phan loai va bai tap chuyen de gioi han 3 phan loai va bai tap chuyen de gioi han
4 phan loai va bai tap chuyen de gioi han 4 phan loai va bai tap chuyen de gioi han
5 phan loai va bai tap chuyen de gioi han 5 phan loai va bai tap chuyen de gioi han
6 phan loai va bai tap chuyen de gioi han 6 phan loai va bai tap chuyen de gioi han
7 phan loai va bai tap chuyen de gioi han 7 phan loai va bai tap chuyen de gioi han
8 phan loai va bai tap chuyen de gioi han 8 phan loai va bai tap chuyen de gioi han
9 phan loai va bai tap chuyen de gioi han 9 phan loai va bai tap chuyen de gioi han

Hay quá trời

Cảm ơn bạn Kid light

Về trang chủ: TH Huỳnh Ngọc Huệ
Bài viết thuộc danh mục: Tổng hợp

Trường Đại Học Y Dược Buôn Ma Thuột

Đội ngũ của chúng tôi đạt chuẩn, mạnh mẽ và sáng tạo và liên tục đổi mới phương thức giảng dạy để đem lại kết quả tốt nhất.

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button